不可积分函数的问题出现多年，但让此刻的勒贝格陷入沉思。
明明那种函数是有一定面积的，为什么非说不可积分，但要去求也无法按照固有模式下手。
若尔当曾提醒：“为什么按照黎曼积分才叫最合理？难道没有其他形式的积分吗？”
勒贝格想：即使如老师所说，也不能直接突兀的找奇特形式的积分。就算是要找，那也需要对这种新的积分形式有一个好的解释。
这个解释就是，什么是真正的可积分的？
很多模型的问题在于，体积的单元和组成体的东西的方式多不严谨，探讨和计算之时，出现了很多不可思议的错误，这种矛盾上升到哲学层面，就是人类对点线面的认识不够深刻。
如果想要深刻，不能在测量的问题上产生矛盾。
勒贝格第一时间想到了等间距的点阵，数点的个数，总是不会有太大错。点又个数，没有体积，不会自我相交。点的个数在某种层面上，就是代表点阵的准确面积和体积。
无非就是知道长度之和，求长宽高直接相乘就可以了，如何一个可以测的，就是长度符合可以测量的标准，让长宽高相乘就可以了。
“是多少个点，就是多少个体积，就是笨办法来求，也指定不会错误。”
点阵在古代就是形数，曾解决毕达哥拉斯定理的证明。
此刻依然可以在看似不可积分的积分问题上能够发挥作用，发挥严谨解释的作用。
勒贝格笑了：“真正的体积和面积是由连绵不断的点组成的，哪里像我所说如此简单，弄个点阵呢？”
其实，只要让一个数学坐标中，符合点阵的一种数学模型存在就行，那种无限的点阵铺满坐标的形式，就是环。
环在宏观上，好解释，把坐标中单位为1的网格画出来，就是一个很简单的整数环。
但是坐标中有大量的小数，那这些无穷小的小数位单位，画网格就不容易了，那就把单位为 1的网格进行类比。之后找到网格环的运算最基本规律，套用在无穷小小数上，只要这个小数的格符合这个运算，那就是小数的环。即使是无理数，如果符合这个环，那也是环运算。
所以坐标要是一个标准的那种方格为无限小的环，这种环不乱来，很严谨，可求积分，也就是可以求出体积。
勒贝格认为：“不需要点阵了，点阵直接不想相交的豪斯多夫这种东西，也可以去求体积，可求积分。”
“不仅要消灭点阵，而且点阵有不合理的地方，点阵之间的空隙太大，不好。要变成方块堆叠才可以，方块堆叠形成体积，只需要求出方块个数，和方块的体积。方块堆叠起码没有空隙。所以在数学上，除了点阵方块可以求，还得保证空隙处，也叫补集，也得是可测的才行。”
如果点，不能说体积是大于0的，但是对于方块体积肯定是大于0的。既然是可以测量，那体积肯定应该大于0才行。
多个方块的体积肯定大于少个方块的体积，少个方块是多个方块的子集，那么子集的体积肯定比原集的体积小。
多个方块合起来，那也是可测的，其中有交集和并集。
如果没有方块，那体积为0，就是0测度，这也不是不可测的。
移动方块的位置，那还是可测的。
若尔当问：“你说的那个方块是正方体的吗？”
勒贝格笑了笑道：“就是长方体的有什么问题吗？就是任意六面体的有什么问题吗？”
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