“易损素数”中，任意一位数字的改变都会让其变为合数。
素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。1978年，数学家发现了一种十分“脆弱”的素数，任意改变其一位数就会变成合数，它们被称为“易损素数”。近期，数学家找到了更多的“易损素数”，而这一概念也被再一次扩展……
让我们来看看以下几个数字，试试看能否发现它们的特别之处：294001、505447、584141。
你可能会注意到它们都是素数（只能被自己和1整除），但其实这几个数的不寻常之处远不止如此。如果我们选取这几个数字中的任意一位进行更改，新得到的数字就成为了一个合数，比如将294001中的1改成7，那么得到的数字就可以被7整除，改成9，则可以被3整除。
这些数字被称为“易损素数”，它们是相对较新的数学发现。1978年，数学家默里·克拉姆金（Murray Klamkin）提出了这一类素数的猜想，之后迅速得到了有史以来发表论文数量最多的数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）的回答，他不仅证明了易损素数确实存在，而且证明了它们的数量是无限的。后来，其他数学家进一步扩展了埃尔德什的结果，其中就包括菲尔兹奖章得主陶哲轩，他在2011年的一篇论文中证明了易损素数之间是呈“正比例”的。这意味着，随着素数本身变大，连续两个易损素数之间的平均距离保持稳定。也就是说，易损素数并不会变得越来越稀少。
在近期发表的两篇论文中，南卡罗来纳大学的迈克尔·菲拉塞塔（Michael Filaseta）更进一步地阐述了这一观点，并提出了一类结构更为精妙的易损素数。他受到埃尔德斯和陶哲轩工作的启发，设想将一个无限长的前导零串作为素数的一部分，就像数字53和…0000053的值是一样的，那么如果改变一个易损素数前无限的零中的任意一个，素数会变合数吗？菲拉塞塔假定这些数字是存在的，并将其称为“广义的易损素数”。2020年11月，他与研究生耶利米·索斯威克（Jeremiah Southwick）共同发表了一篇论文来探究这些数字的性质。这项结果得到了乔治亚大学数学系教授保罗·波拉克（Paul Pollack）的盛赞。
显而易见，这样的数字比原来的易损素数更加难找。波拉克说：“294001是一个易损素数，但并不是一个广义上的易损素数，因为如果我们把…000294001变为…010294001，得到的并不是合数，而是另一个素数。
事实上，菲拉塞塔和索斯威克找遍了1 000 000 000以内的所有整数，也没有在十进制下找任何一个广义的易损素数。然而，这并没有阻止他们继续寻找的脚步。
经过不懈的探索，他们证明了这样的数字在十进制的情况下确实是可能存在的，而且还会有无穷多个。更进一步，他们还证明了广义的易损素数同样是呈正比例的，就像陶哲轩的结论那样。之后，在索斯威克的博士论文中，他在2、9、11和31进制上获得了相同的结果。波拉克对这些发现印象深刻，他说：“对于这些数字，你可以做无限多可能的改变，然而不管你做哪一个改变，你得到的始终是一个合数。”
证明过程主要依靠两种工具，第一种被称为覆盖同余（covering systems），是由埃尔德什在1950年发明的，目的是解决一个数论中的问题。索斯威克说：“覆盖同余能够提供大量的分组，同时保证每个正整数至少在其中一个分组中。”例如，如果将所有正整数除以2，我们就能得到两个分组：一组偶数，一组奇数。这样即可“覆盖”所有的正整数，而在同一组内的数字则被认为彼此是“一致”的。当涉及的数字量十分大时，也就是面对寻找广义易损素数时，情况会显得更为复杂。我们需要更多的分组，大约1025000个，在这些分组内的每一个素数都要保证，在增加了任意一位的数字，包括前面的零之后，能够变成合数。
但为了找到广义的易损素数，这些数中的任何一位数字减少后，也必须变成合数。这就是第二种工具，称为筛分法。筛分法最早可以追溯到古希腊，它提供了一种计算、估计或设置满足某些性质的整数个数限制的方法。菲拉塞塔和索斯威克使用了一个筛分参数，类似于陶哲轩在2011年采用的方法，也就是如果你在前面提到的组中取素数并减少其中的一个数字，会有呈正比的素数变成合数。换言之，广义的易损素数也是呈正比的
然后，在一月份的一篇论文中，菲拉塞塔和他现在的研究生雅各布·朱伊拉特（Jacob Juillerat）提出了一个更加惊人的观点：存在任意长的连续素数序列，其中每个数字都是广义的易损素数。例如，有可能找到10个连续的广义易损素数。但这必须得检验大量的素数，菲拉塞塔说，“这一数量可能比可观测宇宙中的原子数还要多。”他把这比作连续10次中彩票，虽然概率特别小，但是依旧是有可能的。
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