持续旋转星形树，一次旋转一个点的位置。当回到起点时，就像林格尔预测的那样，你将得到一个与之前完整图形一模一样且没有任何部分重叠的图（如下图）。
旋转后完全重合
但是这个实验依然有漏洞：星形图是规则的，因此无论如何放置都无关紧要。但是大多数树并不是，假如树上有许多不同长度的不同分支，那么只有正确放置它们才能使旋转方法起作用，且此时如何放置第一步将至关重要。
幸运的是，数学家们最终找到了一个直观的色彩方法。
03 通过颜色编码找到树的彩虹副本
颜色编码在生活中有很多应用，比如它可以帮助区分日常工作的紧急程度、完成情况等。事实证明，这也是找出如何放置第一颗树的有效方法。
如何进行颜色编码呢？首先，想象围绕一个圆排列的11个点的完整图，编码规则是根据距离（通过一条边连接的两个点之间的距离）进行上色。
假设如果两个点彼此相邻，则它们之间的距离为1，如果两个点中间相隔一个点，则它们之间的距离为2。
如何计算距离
现在根据距离为完整图的边上色。距离为1的所有点的边都涂成相同的颜色，例如蓝色。距离为2的点的所有边也都标记相同的颜色，例如黄色。继续这样操作，以使连接点的边距相等的距离都标记相同的颜色。
结果证明，在具有2n+1个点的完整图形上，你需要n种不同的颜色来执行该方案（如下图）。
上色后的完整图形
给完整图形按颜色编码后，如何找到放置第一颗树的方法呢？
这个想法是将树定位，使其覆盖每种颜色的一个边，且不覆盖任何颜色两次（如下图），数学家们将此位置称为树的彩虹副本。对于一个具有2n+1个点的完整图来说，由于着色需要n种颜色，并且其彩虹副本总是具有n+1个点的树图，因此我们知道彩虹副本是存在的。
上色后出现树的彩虹副本
至此，数学家们就可以通过证明每个具有2n+1个点的完整图包含具有n条边的树的彩虹副本，来证明林格尔的猜想。如果彩虹副本始终存在，则完全覆盖完整图始终有效。
花费了40多年的时间，三位数学家证明了这个事实。
04 如何完美放置是证明猜想的最后一步
如果有一个包含11（2n+1=11，则n=5）个点，且已用5种不同颜色上色的完整图形，以及一个包含6个点、5条边的树图，你的任务是在完整图中找到树的彩虹副本。
随着工作不断进行，放置下一个树的工作越来越难，因此你可能需要提前做好计划。三个数学家从一开始就知道，找到彩虹副本或许不难，难得是如何放置。就好像打包过行李箱，众所周知，我们应该从最困难、最复杂的物体开始，比如手提箱、自行车等，因为无论如何，你最后总能找到缝隙塞进一些小东西，数学家们也采纳了这一哲学。
想象一棵有11条边的树，其中6条边的点集中在一起。剩下的大部分是单一的形状，像卷须一样。
类似卷须一样的复杂树图
最难放置的部分是具有6条边的点。因此，数学家将它与树的其余部分分开，然后将其首先放置。这就像你要把一张床移到楼上必须得先拆卸再进行组装一样。
通过这样做，他们确保了整个图形中的剩余空间是随机的。
这三位数学家的研究表明，一旦嵌入了树图最难的部分，且完整图的剩余空间是随机的，那么总有一种方法可以嵌入树的其余部分以获得彩虹副本。
除此之外，三位数学家的研究结果给类似未解决的问题提供了新思路。或许适当调整一下还可以解决更多未知猜想。
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